a) Resolver el problema con valor inicial
b) Resolver el problema con valor inicial
a) Demostrar que la familia paramétrica de lineas rectas descritas por
b) Sea la ecuación de Clairaut
a) abre inmediatamente su paracaídas, con coeficiente de arrastre , ¿Cuál será su velocidad terminal? ¿Cuándo se alcanza dicha velocidad (con un error del 1%)?
b) ¿Cuánto tardará en llegar al suelo el paracaidista?
c) Si éste desciende en caída libre durante 30 s, con , antes de abrir su paracaídas, ¿Cuándo llegará al suelo? ¿Qué velocidad tendrá entonces?
a) Suponiendo que la fuerza de rozamiento es despreciable, ¿Cuánto tardará la cuerda en caer completamente de la mesa?
[Ayuda: La cuerda tiene un densidad lineal de masa g/m.
Sustituir
y resolver la ecuación correspondiente para
. Luego integrar . Para ello hacer uso de la integral
b) Considerar ahora que la cuerda, en lugar de estar apilada, se extiende sobre la mesa perpendicularmente al borde, con 0.5 m colgando fuera de la mesa y en reposo. En el instante la cuerda empieza a deslizarse fuera de ésta, sin rozamiento.
i) Deducir la ecuación diferencial que satisface el extremo de la
cuerda,
[Ayuda: Sustituir ,
y resolver la
ecuación. Luego integrar . Para ello hacer uso de la
integral
c) Considerar ahora que la mesa ejerce sobre la cuerda extendida del apartado anterior una fuerza de rozamiento que es proporcional a la velocidad de la cuerda, . ¿Qué tiempo tardará en caer la cuerda? Comparar con el resultado del apartado anterior.
[Ayuda: Para ello hacer uso de la
integral
a) Trazar la gráfica de contra , encontrar los puntos críticos y determinar si son estables o inestables.
b) Para , determinar dónde la gráfica de es cóncava y dónde convexa.
c) Para cada en el intervalo , demostrar que , según la ecuación de Gompertz, nunca es menor que según la ecuación logística.
d) Resolver la ecuación de Gompertz, sujeta a la condición inicial .
[Ayuda: Se sugiere hacer el cambio de variables .]
e) Para una población con ritmo de crecimiento por año, millones, y , aplicar el modelo de Gompertz para encontrar la población al cabo de dos años.
f) Para los mismos datos del apartado e), encontrar el tiempo en el que .
a) Suponer que una población puede dividirse en dos partes: aquellos
que tienen una enfermedad dada y pueden contagiarla a los demás, y
aquellos que no la tienen pero son susceptibles de adquirirla. Sea
la proporción de individuos susceptibles, e la proporción de
individuos infectados; entonces . Suponer que la enfermedad se
propaga por contacto entre los miembros enfermos y los sanos de la
población. Además, suponer que los miembros de los dos grupos se
desplazan libremente entre sí, de modo que el número de contactos es
proporcional al producto . De aquí obtener el problema con
valor inicial
b) Encontrar los puntos de equilibrio de la población y determinar si son estables o inestables.
c) Resolver el problema con valor inicial del primer apartado y verificar que las conclusiones a las que se llegó en b) son correctas. Demostrar que cuando . ¿Qué conclusión se puede sacar de este resultado?
a) Determinar en cualquier instante al resolver la primera ecuación, sujeta a la condición inicial .
b) Aplicar el resultado anterior para hallar en cualquier instante al resolver la segunda ecuación, sujeta a la condición inicial .
c) Encontrar la proporción de la población que escapa de la epidemia, al hallar el valor límite de cuando .
a) Si , determinar el valor límite de cuanto , sin resolver la ecuación diferencial. Luego, resolver el problema con valor inicial y encontrar para todo .
b) Si las sustancias y son las mismas, entonces y la
ecuación de evolución se sustituye por