next up previous
Next: El problema de dos Up: cuantica2 Previous: cuantica2

Sistemas cuánticos en tres dimensiones. Rotaciones. Momento angular. Paridad


 

1.  Considerar los operadores de momento angular $J_x$ , $J_y$ , $J_z$ con relaciones de conmutación

$\displaystyle \lbrack J_x,J_y \rbrack = i \hbar J_z \ , \ \lbrack J_y,J_z \rbrack = i \hbar J_x \ , \ \lbrack J_z,J_x \rbrack = i \hbar J_y$

Introducir los operadores no hermíticos:
$\displaystyle J_{\pm}=\left(J_x \pm iJ_y\right) \cdot \frac{1}{\sqrt 2}$

a) Derivar las relaciones de conmutación de $J_+$ , $J_-$ y $J_z$ .


b) Probar que $2J_{\pm}J_{\mp}=J^2- {J_z}(J_z \pm \hbar \mathbf{1})$



2. Probar las siguientes relaciones de conmutación:
$\displaystyle \begin{array}{lcl}
\lbrack L_i,x_j \rbrack & = & i \hbar \epsilon...
...p_k \\
\lbrack L,p^2 \rbrack & = & \lbrack L,r^2 \rbrack \, = \, 0
\end{array}$

3.
a) Hallar los conmutadores $\lbrack J_z^2,J_+^2 \rbrack \ , \ \lbrack J_z^2,J_-^2 \rbrack$ , sabiendo que
$\displaystyle \lbrack J_z,J_+ \rbrack = \hbar J_+ \ , \ \lbrack J_z,J_- \rbrack = -\hbar J_-$

b) Demostrar que $\lbrack J_x^2,J_y^2 \rbrack = \lbrack J_y^2,J_z^2 \rbrack = \lbrack J_z^2,J_x^2 \rbrack = 0$ para $j\leq1$


4. Ya que las componentes del momento angular no conmutan, su medida simultánea es imposible. Demostrar que en un estado $\vert j,m \rangle$ la mayor precisión en la medida de $J_x$ y $J_y$ se obtiene cuando $\vert m\vert=j$ .


5. Considérense los vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ ,$\vec{u}^2=\vec{v}^2=1$ , y las proyecciones del operador momento angular a lo largo de $\vec{u}$ y $\vec{v}$ :$\hat{L}_u=\vec{u}\vec{L} \ , \ \hat{L}_v=\vec{v}\vec{L}$ .

a) Hallar el conmutador $\hat{c}=\lbrack \hat{L}_u,\hat{L}_v \rbrack$ .

b) ¿Bajo qué condiciones puede ocurrir $\hat{c}=0$ ? ¿Bajo cuáles $\hat{c}=i \hbar L_z$ ?


6. Sea el operador paridad $P$ , que realiza una inversión de coordenadas. Su acción sobre una función arbitraria $F(r,\theta,\phi)$ es:
$\displaystyle PF(r,\theta,\phi)=F(r,\pi-\theta,\pi+\phi)$

a)  Probar que $\lbrack P,L_i \rbrack =0$ .

b)  Probar que los armónicos esféricos tienen paridad definida (i.e., que son autoestados de $P$ ), dada por: 
$\displaystyle PY_{lm}(\theta,\phi)=(-1)^lY_{lm}$


7. Sabiendo que:
$\displaystyle Y_2^2(\theta,\phi)= -\left( \frac{15}{32 \pi} \right) ^ \frac{1}{2} \sin ^2 \theta \, e^{2i\phi}$

hallar los restantes armónicos esféricos correspondientes a $l=2$ .


8. Mostrar que en un estado $\psi$ tal que $L_z \psi =m \psi$ , el valor medio de la proyección del momento angular sobre un eje $z'$ que forma un ángulo $\alpha$ con $z$ es $m \cos \alpha$ .


9. Sea un sistema de momento angular $j=1$ . Considérese una base de los estados con tercera componente de momento angular bien definida.
a) Escribir en dicha base el operador correspondiente a la proyección del momento angular sobre un eje caracterizado por los ángulos $\theta$ y $\phi$ .

b) Hallar el estado del sistema tal que la componente del momento angular sobre el eje sea $+1$ .

c) Dar la probabilidad de que al medir la proyección sobre el eje $z$ nos dé cada uno de los valores 1, 0 y $-1$ .

d) ¿Cuáles son los resultados posibles de la medida de $J_z^2$ ? Dar sus respectivas probabilidades y el valor medio de $J_z^2$ .


10. Consideremos un sistema con momento angular $l=1$ cuyo espacio de estados está generado por la base $\{\vert+\rangle \, , \, \vert\rangle \, , \, \vert-\rangle \}$ de autoestados simultáneos de $L^2$ y $L_z$ . El estado del sistema es $\vert\psi \rangle = \alpha \vert+\rangle + \beta \vert\rangle + \gamma \vert-\rangle$ , con $\alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma \in \mathbb{C}$ .
a) Calcular el valor medio de $\vec{L}$ en función de $\alpha \, , \, \beta \, , \, \gamma$ .

b) Calcular $\langle L_x^2 \rangle,\langle L_y^2 \rangle,\langle L_z^2 \rangle$ .


11. Sea la función de ondas para una partícula en tres dimensiones:
$\displaystyle \psi(\vec{r})=\frac{1}{2\sqrt{14\pi}}(1-r)e^{-r/2} \qquad r=\vert\vec{r}\vert$

¿Cuál es la probabilidad de que al medir el momento angular se obtenga $l=0$ ? ¿Y $l=1$ ?


12. Sea una partícula caracterizada por la función de onda:

 $\displaystyle \psi(\vec{r})=Ae^{-r^2}(z+2iy)$

Si se miden el momento angular y su tercera componente, ¿qué valores son posibles, y cuál es la probabilidad para cada uno?




next up previous
Next: El problema de dos Up: cuantica2 Previous: cuantica2
Enrique Perez Montero 2004-02-06