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El problema de dos cuerpos en mecánica cuántica. Potenciales centrales.



1. Demostrar que para un potencial central con un espectro discreto el valor mínimo de la energía para un valor dado del momento angular orbital $l$ se incrementa al aumentar $l$.


2. Determinar los niveles de energía y las funciones de onda de una partícula en un pozo de potencial dado por



3. Un electrón en un átomo tiene una función de onda, en coordenadas esféricas, dada por:
$\displaystyle \Psi(\vec{r})=\Phi(r)(\alpha Y_{2 2}(\theta,\phi)+\beta Y_{2 -1}(\theta,\phi))$
donde $\alpha$ y $\beta$ son constantes complejas y $\Phi(r)$ cumple:
$\displaystyle \int_0^{\infty} r^2 \Phi(r)^*\Phi(r)dr=1$

a) ¿Qué relación debe cumplirse entre $\alpha$ y $\beta$ para que $\Psi(\vec{r})$ esté normalizada a la unidad?

b) ¿Tiene el electrón definido por la función $\Psi(\vec{r})$ una posición definida?

c) ¿Cuáles son los posibles resultados de una medida de $L^2$ y $L_z$, y con qué probabilidades?

d) ¿Cuánto deben valer $\vert\alpha \vert$ y $\vert\beta \vert$ de modo que $\langle L_z \rangle _{\Psi} =0$? Averiguar, en dicho caso, cuál es la probabilidad de que la tercera componente del momento angular orbital del electrón tenga un valor $-\hbar$.

e) En el supuesto del apartado anterior, calcular $\langle L_x \rangle$ y $\langle L_y \rangle$.


4. Considerar una partícula de masa $\mu$ sometida al potencial central:
$\displaystyle V(x,y,z)=\frac{1}{2} \mu \omega^2 (x^2+y^2+z^2) = \frac{1}{2} \mu \omega^2 r^2$

a) Resolver en coordenadas esféricas la ecuación de Schrödinger. Hallar las autofunciones del hamiltoniano con valor bien definido de $l$ y $m$. Encontrar el espectro de energías y su degeneración.

b) Utilizar el teorema del virial para calcular $\langle r^2 \rangle$. Calcular $\langle \vec{v} \rangle$ para el estado fundamental.

c) Perturbamos el sistema con un término del tipo $\alpha L^2$ $(\alpha \ll \hbar \omega)$. Utilizar teoría de perturbaciones para ver cómo se ve afectado el espectro de energías.



5.
Una partícula está sometida a la acción de un potencial tridimensional:

V(r)=$\infty$ si R$_0$ $>$ r $>$ R$_0$+L
V(r)= 0 en el resto del espacio

a) ¿Qué condición deberán cumplir los parámetros del potencial para que se pueda despreciar -en primera aproximación- el término de barrera centrífuga? Suponiendo satisfecha dicha condición, escriba los dos autovalores más bajos de la energía y la forma explícita de sus correspondientes autofunciones.

b) Calcule las correcciones a dichas autoenergías debidas al término centrífugo.




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Enrique Perez Montero 2004-02-06