El átomo de hidrógeno. El oscilador armónico tridimensional.

1. Calcular la probabilidad de que un electrón, en un átomo de hidrógeno en el estado fundamental, se encuentre a una distancia del núcleo superior a la máxima permitida clásicamente por la energía de dicho estado.

2. La función de onda normalizada de un estado de un átomo de hidrógeno es:

$$\Psi(\vec{r})=\frac{1}{81}\sqrt{ \frac{2}{\pi} } \, a_0^{-3/2} \left( \frac{r}{a_0} \right)^2 e^{\frac{r}{3a_0}} \sin \theta \cos \theta \cos \phi$$

a) ¿Es $\Psi$ autoestado de los operadores $\hat{H}$, $\hat{L}_z$, $\hat{L}^2$?

Consideremos ahora que el átomo de hidrógeno se encuentra en un estado $\vert\Phi \rangle$ del que se sabe lo siguiente:

i. $\vert\Phi \rangle$ es autestado de $L_z$ con autovalor $\hbar$.

ii. Al medir la energía sólo pueden obtenerse valores menores que $-1$ eV.

iii. La energía media es $-2.455$ eV.

iv. La probabilidad de encontrarlo en el estado $\vert\Psi \rangle$ es $\frac{1}{4}$.

b) ¿Cuál es la forma general de la función $\Phi$ y su dependencia temporal?

c) ¿Variará en el tiempo la densidad de probabilidad? ¿Cómo?

d) Hallar los valores esperados de los operadores $\hat{x} \, , \, \hat{y} \, , \, \hat{z} \, , \, \hat{p}_x \, , \, \hat{p}_y \, , \, \hat{p}_z$ para un tiempo $t$.

3. Dada la función de onda del electrón excitado al nivel $n=3$ del átomo de hidrógeno:

$$\Psi(\vec{r})=\frac{1}{\sqrt{2}} \Psi_{3 2 2}(\vec{r}) + \frac{1}{\sqrt{2}} \Psi_{3 2 -1}(\vec{r})$$

donde $\Psi_{3 2 2}$ y $\Psi_{3 2 -1}$ están normalizadas a la unidad:

a) Calcular los valores medios de $L^2$ y $L_z^2$.

b) Hallar la probabilidad de obtener $\hbar$ y la de obtener 0 al medir la tercera componente del momento angular orbital.

c) ¿Para qué valor de $r$ es máxima la densidad de probabilidad radial?

d) Calcular el valor esperado de la coordenada radial.

4. Consideremos un átomo con tres electrones y supongamos que no existe interacción electrón-electrón. ¿Cuál será la energía del estado fundamental y de los primeros estados excitados?

5. Comprobar que las funciones de onda para los seis estados $2p$ del átomo de hidrógeno son:

$$\begin{array}{lcl} \psi_x & = & A(r/a_0)e^{-r/2a_0}\sin \theta \c... ... \sin \phi \\ \psi_z & = & A(r/a_0)e^{-r/2a_0}\cos \theta \qquad , \end{array}$$

donde $A$ es una constante y $m_s=\pm 1/2$ para cada $\psi$.

a) Probar que la suma de $\vert\psi\vert^2$ para los seis estados es sólo función de $r$.

b) Evaluar $A$ para que $\psi_z$ esté normalizada.

c) Probar que las funciones de onda $\psi_x$ y $\psi_y$ tienen la misma forma que $\psi_z$, pero que cada una tiene simetría cilíndrica alrededor de una de las otras coordenadas cartesianas. (Escribir $x$, $y$ y $z$ en términos de $r$, $\theta$ y $\phi$; expresar cada $\psi$ en términos de $r$ y una de las coordenadas cartesianas)

d) Calcular $\langle r \rangle$ para $\psi_z$.

6. Escriba los autoestados correspondientes a las dos autoenergías más bajas del átomo de hidrógeno que son a su vez autoestados del momento angular total $\vec{j}=\vec{l}+\vec{s}$. Obtenga explícitamente los coeficientes del desarrollo del estado $j$=1/2 $j_z$=1/2 en la base desacoplada.

7. Escriba la funcion de ondas del primer estado excitado del átomo de helio, despreciando la repulsion entre los electrones.

8. Considere el sistema ligado formado por un electrón y un positrón en su estado de energía más baja (estado fundamental). ¿Cuanta energía hay que suministrarle para que las dos partículas se separen indefinidamente una de la otra? Haga una estimación del tamaño de dicho estado ligado. (El positrón es la antipartícula del electrón, tiene su misma masa y su misma carga pero cambiada de signo)

9. El hamiltoniano de una partícula sometida a la acción de un potencial armónico, bidimensional e isótropo es:

$$H_0 = \displaystyle{\frac{P_x^2}{2m}} + \displaystyle{\frac{... ...{2m}} + \displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega_0^2 (x^2 + y^2)$$

a) Obtenga los tres autovalores más bajos de la energía, su degeneración y las autofunciones correspondientes.

b) Compruebe que el operador L$_z$ = $x P_y - y P_x$ , se puede escribir como:

$${\bf L}_z = i \; \hbar \; (a_x a_y^+ - a_y a_x^+)$$

c) Perturbamos el sistema con una interacción V$^{\prime}$ = $\omega_1 {\bf L}_z$, Cómo se modificarán las dos autoenergías más bajas, a primer orden en teoría de perturbaciones? Cuáles son los autoestados no perturbados que son el límite de los autoestados exactos de hamiltoniano H$_0$+V$^{\prime}$ cuando $\omega_1 \rightarrow 0$ ?

d) En realidad, las autoenergías y los autoestados obtenidos en el apartado anterior resultan ser soluciones exactas del hamiltoniano H$_0$+V$^{\prime}$. ¿Por qué?