El spin del electrón. Partículas idénticas. Fermiones y bosones. El principio de exclusión de Pauli.

1. Demostrar que la relación

$$(\vec{\sigma}\vec{A})(\vec{\sigma}\vec{B})=\vec{A}\vec{B}\mathbf{1}+i\vec{\sigma}(\vec{A} \times \vec{B}) \qquad ,$$

donde $\vec{\sigma}=(\sigma_1 \, , \, \sigma_2 \, , \, \sigma_3)$ son las matrices de Pauli, y $\vec{A}$ y $\vec{B}$ son operadores vectoriales que conmutan con $\vec{\sigma}$, pero no necesariamente entre ellos.

2. Sea $\vert\Psi \rangle$ el estado de una partícula de spin 1/2. Se mide el valor medio de $s_z$ en ese estado y el resultado es $\sqrt{3}/4\hbar$.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que al medir $s_z$ en el estado $\vert\Psi \rangle$ obtengamos como resultado $\hbar/2$? ¿Y $-\hbar/2$?

b) Suponiendo que el valor medio de la proyección sobre el eje $x$ es $\langle s_x \rangle = g\hbar$ y que el coeficiente del estado $\vert+ \rangle$ es real y positivo, ¿entre qué límites puede variar $g$?

c) Se mide $s_x$, y se obtienen como resultados de la medida $g=0$ y $g=3/8$, pero el aparato no puede decidir entre ambos estados. Escoger aquél de los dos valores que sea compatible con los límites encontrados en el apartado anterior.

d) Calcular los valores posibles que puede dar la medida del valor medio $\langle s_y \rangle$ en el estado $\vert\Psi \rangle$.


3. En una cierta base el operador asociado a la tercera componente de spin para un sistema de spin $1/2$ toma la forma:

$$s_z=\frac{1}{2\sqrt{2}} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1+i \\ 1+i & 0 \end{array}\right)$$

Comprobar que dicho operador puede, en efecto, representar el observable $s_z$. Escoger, de entre las matrices siguientes, una tal que con el $s_z$ dado pueda representar el observable $s_y$:

$$\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} 0 & 1 \\ -1 & 1 \end{array}... ...rt{2}} \left( \begin{array}{cc} 1+i & 0\\ 0 & 1-i \end{array}\right) \nonumber$$

$$\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array}... ...rac{1}{4} \left( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{array}\right) \nonumber$$

Encontrar, en la misma base en que están escritos $s_z$ y $s_y$, la matriz asociada a $s_x$.

4. Un chorro de electrones que se encuentran en el estado

$$\vert\psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}\vert+ \rangle+\frac{1}{\sqrt{2}}\vert- \rangle$$

se hace pasar por un aparato tipo Stern-Gerlach que mide la tercera componente del spin.

a) ¿Qué porcentaje de electrones dará como resultado de la medida $S_z=1/2$? Si se gira el aparato de modo que mida la componente $x$ del spin, ¿qué porcentaje de los electrones tendrá $S_x=1/2$?

b) Idem, pero con un chorro de electrones en el que el 50% se hallan en el estado $\vert+ \rangle$ y el otro 50% en el $\vert- \rangle$.

5. Una partícula de spin $1/2$ se encuentra en un estado $\vert+ \rangle$. ¿Cuál es la probabilidad de que la proyección del spin sobre la dirección $\vec{\Omega}$ sea $\hbar /4$? ¿Y $\hbar/2$?

6.Suponga que la función de ondas de un electrón viene dada por:

$\vert\Psi> = \alpha \vert 1/2,+1/2> + \beta \vert 1/2, -1/2>$

con $\alpha$ y $\beta$ pertenecientes a C. Determinar $\alpha$ y $\beta$ sabiendo que:
$<S_x>= \hbar \sqrt{2}/4$ y $<S_y>= - \hbar \sqrt{2}/4$

¿Cuál es la probabilidad de que al efectuar una medida del valor de la proyección del espín del electrón en la dirección ($\theta=\pi/3$, $\phi=\pi/4$) encontremos el valor $\hbar$/2?

7. Demuestre que el estado fundamental de dos electrones confinados en un potencial armónico unidimensional tiene espín total cero.

8. Sea $H_0$ el hamiltoniano de una partícula. Supongamos que actúa sólo sobre las variables espaciales y que tiene tres niveles equidistantes de energías 0, $\hbar \omega_0$ y $2\hbar \omega_0$ ($\omega_0$ es una constante real y positiva), que son no degenerados en el espacio orbital de estados, y tienen degeneración $2S+1$ en el de spin (donde $S$ es el spin de la partícula). Consideraremos sólo el espacio desarrollado por los tres autoestados de $H_0$ mencionados.

a) Considerar un sistema de tres electrones cuyo hamiltoniano es:

$$H=H_0(1)+H_0(2)+H_0(3)$$

Encontrar los niveles de energía de $H$ y el grado de degeneración de cada uno de ellos.

b) Lo mismo para un sistema de bosones idénticos de spin 0.

9. Considerar un sistema de $N$ electrones encerrado en una caja tridimensional de lado $L$. Suponer que pueden despreciarse las interacciones entre ellos y que no están sometidos a ningún potencial externo. Construir el estado fundamental del sistema.

a) Calcular la máxima energía que puede tener un electrón en dicho estado (energía de Fermi).

b) Deducir la densidad de estados $\rho(E)$, definida de modo que $\rho(E)dE$ es el número de estados individuales cuyas energías están entre $E$ y $E+dE$.

10. Dos partículas idénticas de spin $1/2$ que no interactúan entre sí están sometidas a un potencial tipo pozo cuadrado unidimensional, infinito y de anchura $L$.

a) Calcular las funciones de onda de los estados correspondientes a los tres valores más bajos de la energía.

b) Se introduce una perturbación

$$V'=V_0 L \delta (x_1-x_2)$$

Calcular las correcciones a primer orden en teoría de perturbaciones de las dos energías más bajas del hamiltoniano sin perturbar.

11. La función de ondas de dos partículas idénticas de espín 1/2 viene dada por:

$$\Phi(x_1,x_2) = \displaystyle{ \frac{\sqrt{2}}{L} ( sen\frac{\pi x_1}{L} \cdot sen\frac{2 \pi x_2}{L} - sen\frac{2 \pi x_1}{L} \cdot sen\frac{\pi x_2}{L})} \times$$ (1)

$$( \vert 1/2 \: -1/2 >_1 \cdot \vert 1/2 \: -1/2 >_2 )$$ (2)

y es autoestado de un hamiltoniano que no contiene términos dependientes del espín.

a) Escriba el hamiltoniano y la autoenergía del estado.

b) Describa y justifique la forma del autoestado y obtenga el valor de su espín.

c) A partir de la autofunción dada, obtenga otra con la misma energía y cuyo espín difiera del suyo en una unidad de $\hbar$.

d) ¿Cuáles serían las autoenergías más bajas del sistema si añadiéramos al hamiltoniano un término $h^{\prime} = \alpha (S_{x} + S_{y}$) ?