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Átomos multielectrónicos. El sistema periódico



1. Consideremos un átomo con tres electrones y supongamos que no existe interacción electrón-electrón. ¿Cuál será la energía del estado fundamental y de los primeros estados excitados?


2. Dos electrones se encuentran en el estado $2p$ de un potencial coulombiano creado por una carga $Ze$. Suponga que la repulsión electrostática entre los dos electrones es despreciable.

a) Escriba las funciones de onda de los estados permitidos por el principio de Pauli, caracterizando cada estado por los valores del momento angular orbital total y su tercera componente y del espín total y su tercera componemte.

b) Suponga ahora que añadiéramos un nuevo término en el hamiltoniano, dado por:

$h^{\prime}= - \alpha S_y = - \alpha (S_{1y} + S_{2y})$

¿Cuáles serían los nuevos autovalores y autovectores de los dos electrones?


3. Suponga que en el átomo de Helio la repulsión electrostática entre los dos electrones es despreciable.

a) Calcule sus dos autoenergías más bajas (en eV) y escriba las funciones de onda de los autoestados correspondientes a las mismas. Explicite para cada estado los valores del momento angular orbital total y del espín total.

b) Imagine ahora que los electrones interaccionan mediante el potencial

$V_{12}= (-E_R/ \hbar^2)(\vec{s_1} \cdot \vec{s_2} +
\vec{l_1} \cdot \vec{l_2})$

¿Cuáles serían las nuevas energías (en eV) de los estados del apartado a)? ¿Cómo se modificarían sus funciones de ondas?



4. Suponga que la interacción entre protón y neutrón en un núcleo de deuterio se puede representar mediante un potencial $V(r)=-V_0 e^{-r/a}$, con $a,V_0>0$.

a) Resuelva la ecuación de Schrödinger para los estados $S$. (Hacer el cambio $\xi = re^{-r/2a}$).

b) Tomando las masas del neutrón y del protón iguales a 1 GeV, y sabiendo que la energía experimental del estado fundamental del deuterio es 2.2 MeV, encontrar la relación entre el alcance y la profundidad del potencial.


5. Calcule el valor medio del cuadrado de la velocidad de un electrón en el estado 2p del ión de Litio dos veces ionizado Li$^{++}$.


6. Escriba las funciones de ondas del estado fundamental y del primer (o primeros) estados excitados del átomo de helio, suponiendo despreciables tanto la repulsión entre los electrones como el término espín-órbita. Explicite para cada estado el valor del momento angular orbital y de su tercera componente, así como los del espín y de su tercera componente.


7. Suponga que en el átomo de Helio la repulsión electrostática entre los dos electrones es despreciable.

a) Calcule sus dos autoenergías más bajas (en eV) y escriba las funciones de onda de los autoestados correspondientes a las mismas. Explicite para cada estado los valores del momento angular orbital total y del espín total.

b) Imagine ahora que los electrones interaccionan mediante el potencial

$V_{12}= \displaystyle{\frac{-E_R}{\hbar^2}}
(\vec{s_1} + \vec{s_2}) \cdot (\vec{l_1} + \vec{l_2})$

¿Cuáles serían las nuevas energías (en eV) de los estados del apartado a)? ¿Cómo se modificarían sus funciones de ondas?


8. Calcule de modo aproximado cuál es la energía necesaria para ionizar completamente los átomos de Litio y de Berilio.


9. Calcule aproximadamente la energía de ligadura total de un átomo de Berilio al que después de ionizar totalmente, hemos hecho capturar dos muones en el estado $2s$. Los muones tienen la misma carga que los electrones y una masa 200 veces superior.


10. Considere el ión Na$^{8+}$ (un átomo de sodio (Z=11) ocho veces ionizado). Cuál es la mínima energía necesaria para arrancarle otro electrón? Y para ionizarlo totalmente? Cuál es la velocidad ($<v^2>^{1/2}$) de un electrón $3p$ en el ión Na$^{10+}$?

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Enrique Perez Montero 2004-02-06