Correcciones relativistas del espectro del del átomo de hidrógeno. La interacción spin-órbita.

1. Una partícula de spin 1/2 se mueve en un campo central. Encontrar la función de onda de la partícula que es simultáneamente autofunción de los tres operadores $j_z=l_z+s_z$, $l^2$ y $j^2$.

2. Considerar un átomo de deuterio (compuesto por un núcleo de spin $I=1$ y un electrón). El momento angular electrónico es $J=L+S$, donde $L$ es el momento angular orbital del electrón y $S$ su spin. El momento angular total del átomo es $F=J+I$, donde $I$ es el spin nuclear. Los autovalores de $J^2$ y $F^2$ son $J(J+1)\hbar^2$ y $F(F+1)\hbar^2$, respectivamente.

a) ¿Cuáles son los valores posibles de los números cuánticos $J$ y $F$ para un átomo en el estado $1s$?

b) Id. en un estado $2p$.

3. Sea $S=S_1+S_2+S_3$ el momento angular total de un sistema de tres partículas de spin 1/2. Sean $\{ \vert\epsilon_1 \epsilon_2 \epsilon_3 \rangle \}$ los autoestados simultáneos de $S_{1 z}$, $S_{2 z}$ y $S_{3 z}$, con autovalores $\epsilon_1 \hbar /2$,$\epsilon_2 \hbar /2$ y $\epsilon_3 \hbar /2$, respectivamente. Dar una base de autoestados comunes de $S^2$ y $S_z$ en términos de $\{ \vert\epsilon_1 \epsilon_2 \epsilon_3 \rangle \}$

4. Escriba la función de onda del estado 2p$_{3/2}$, j$_z$=3/2 del átomo de hidrógeno. A partir de ella construya la del estado 2p$_{1/2}$, j$_z$=1/2. Calcule cómo se modifican las energías de ambos estados si incluimos un potencial de la forma $v_{so}= -\alpha \vec{l} \cdot \vec{s}$

5. Una partícula de espín 1/2 se halla confinada en un potencial de oscilador armónico isótropo:

$V(r)=\displaystyle{\frac{1}{2}} m \omega^2 r^2$

a) Si la energía de la partícula es $${\frac{7}{2}} \hbar \omega$$, ¿cuáles serán los valores posibles de su momento angular orbital? ¿Y los de su momento angular total? ¿Cuál es la degeneración total correspondiente a dicha energía?

b) Suponga ahora que añadimos una perturbación dada por:

$v^{\prime} = \displaystyle{\frac{ \omega}{10 \hbar}} \vec{l} \cdot \vec{s}$

¿Cuáles serán las nuevas energías de los estados del apartado anterior?

c ) Escriba la función de ondas del estado de energía más baja con $j$=3/2 , tras la inclusión de la perturbación.

6. Suponga que un átomo de Hidrógeno, que se encuentra en su estado excitado $2p$, es sometido a la accion de un potencial exterior de la forma:

$${\cal V}= \frac{\lambda}{\hbar} L_x$$

a) Para qué rango de valores de $\lambda$ se puede considerar que la interacción es ``fuerte'' comparada con el desdoblamiento espín-órbita?

b) Suponga que el desdoblamiento espín-órbita es efectivamente despreciable y que $\lambda$ es tal que la interacción externa es pequeña comparada con la interacción de Coulomb. Calcule cómo se modifican las energías de los estados $2p$ del átomo de Hidrógeno.

c) Suponga ahora que el potencial exterior tiene una intensidad comparable a la interacción electrón núcleo. Sabría resolver el problema exactamente? Hágalo y reflexiones sobre el tiempo perdido en el apartado b).

7. Calcule (en $eV$) el valor del desdoblamiento de los niveles $2p_{1/2}$ y $2p_{3/2}$ del átomo de hidrógeno, debido a la interacción espín-órbita.

$$V_{so} = \displaystyle{\frac{e^2}{2 m_e^2 c^2}} \vec{L} \cdot \vec{S} \: \: \displaystyle{\frac{1}{r^3}}$$

a) Se aplica un campo magnético constante de módulo B$_0$ al átomo de hidrógeno. ¿Qué condición deberá satisfacer B$_0$ para que su efecto sobre las energías de los niveles sea pequeño comparado con el desdoblamiento espín-órbita?

b) Obtenga las modificaciones de las energías de los estados $2p_{3/2}$ causadas por el campo magnético.

c) Considere ahora la configuración fundamental (1s)$^2$ y la configuración excitada (1s)(2s) del ión H$^-$. Calcule su diferencia de energía, despreciando la repulsión entre los dos electrones. Suponga que le aplicáramos el mismo campo magnético; ¿Cómo variarían las energías de los diferentes estados pertenecientes a dichas configuraciones? ¿Dependerán estos resultados de que el campo sea débil? ¿Podríamos conseguir que algún estado del tipo (1s)(2s) tuviera una energía más baja que la de la configuración (1s)$^2$? ¿Le parece una posiblilidad realista?

8.
a)  Escriba las energías y las funciones de onda del estado fundamental y del primer (o primeros) estados excitados de átomo de Helio despreciando la repulsión entre los electrones. Explicite en cada caso los valores del momento angular orbital total y del espín total,

b)  Simulamos ahora parte de los efectos de la repulsión entre los electrones mediante una interacción de la forma:

$$V_R = - 4 \frac{E_R}{\hbar^2} \; \; \vec{s_1} \cdot \vec{s_2}... ...rac{1}{4}} \frac{E_R}{\hbar^2} \;\; (\vec{l_1} + \vec{l_2})^2$$

¿ Cómo se modificarán las energías anteriores?

9. Dos electrones están confinados en una dimensión por un potencial de oscilador armónico. Escribir la función de ondas de su estado fundamental y de su primer estado excitado, explicitando el valor del espín total. Calcular los nuevos autovalores de la energía si los electrones interaccionan ente sí con un potencial de la forma:

$\lambda \: \vec{s_1} \cdot \vec{s_2}$

¿Y si la interacción fuera: $\mu \: (\vec{s_1} - \vec{s_2}) \cdot (\vec{s_1} + \vec{s_2})$?

9. Dos partículas idénticas que tienen espín $s$=1 están confinadas en un pozo unidimensional infinito. Escribir la (o las) funciones de ondas de todos los autoestados correspondientes a la autoenergía más baja del sistema. Calcular las nuevas autoenergías correspondientes a dichos autoestados (o a combinaciones lineales de los mismos) si además del potencial que las confina, existiera una interacción entre las dos partículas mediada por el potencial:

$$V= \alpha \; \vec{s_1} \cdot \vec{s_2}$$

¿y si las dos partículas idénticas tuvieran espín $s$ =3/2?