METODOS MATEMATICOS II (2do. PARCIAL)

Hoja I

1.

Hallad la solución de las siguientes ecuaciones en derivadas parciales:

a)

u_xx=0

b)

u_xx+u=0

c)

u_xy+x² u_y =0

d)

u_xy+u_x=0

e)

u_xy=sen(x) + e^y

En todos los casos u es una función de dos variables independientes, u=u(x,y).

2.

Verificad que las funciones u₁(x,y)=x²-y² y u₂(x,y)=e^x sen(y) son soluciones de la EDP u_xx+u_yy=0.

3.

Demostrad que si u(x,y)=f(xy) donde f es una función derivable arbitraria, entonces u satisface la EDP x u_x - y u_y = 0.

4.

Hallad la solución general de la EDP u_xx-4 u_xy + 3 u_yy=0 suponiendo que la solución es de la forma $u(x,y)=f(\lambda x +y)$ donde $\lambda$ es un parámetro desconocido.

5.

Determinad la región en que cada ecuación es hiperbólica, parabólica o elíptica. Asimismo, en cada región, hallad la forma canónica de la EDP:

a)

xu_xx+u_yy=x²

b)

u_xx+y² u_yy=y

c)

u_xx+x y u_yy=0

d)

x² u_xx -2 x y u_xy + y² u_yy = e^x

e)

u_xx+u_xy-x u_yy = 0

f)

e^x u_xx + e^y u_yy =u

g)

sen²(x) u_xx + sen(2x) u_xy + cos²(x) u_yy=x

h)

u_xx-y u_xy +x u_x +y u_y + u =0

6.

Obtened la solución general de las siguientes EDP:

a)

x² u_xx + 2xy u_xy + y² u_yy +xy u_x + y² u_y = 0

b)

r u_tt -c² r u_rr -2 c² u_r = 0 donde c es una constante y u=u(r,t) (sugerencia: haced el cambio v=r u).

Comprobad las soluciones por sustitución.

7.

Reducid las siguientes EDP a su forma canónica y encontrad las curvas características:

a)

u_xx+2u_xy+3u_yy+4u_x+5u_y+u=e^x

b)

2u_xx-4u_xy+2u_yy+3u=0

c)

u_xx+5u_xy+4u_yy+7u_y=sen(x)

d)

u_xx+u_yy+2u_x+8u_y+u=0

e)

u_xy+2u_yy+9u_x+u_y=2

f)

6u_xx-u_xy+u=y²

g)

u_xy+u_x+u_y=3x

h)

u_yy-9u_x+7u_y=cos(y)

8.

Hallad la solución general de las siguientes EDP:

a)

u_xx+u_yy=0

b)

u_xxxx+2u_xxyy+u_yyyy=0 (sugerencia: usad z=x+iy).

c)

u_xx-3u_xy+2u_yy=0

d)

u_xx+10u_xy+9u_yy=y

9.

Determinad la solución de los siguientes problemas con condiciones iniciales para la cuerda infinitamente larga:

a)

u_tt-c² u_xx = 0, u(x,0)=0, u_t(x,0)=1;

b)

u_tt-c² u_xx = 0, u(x,0)=sen(x), u_t(x,0)=x²;

c)

u_tt-c² u_xx = 0, u(x,0)=x³, u_t(x,0)=x;

d)

u_tt-c² u_xx = 0, u(x,0)=log(1+x²), u_t(x,0)=2;

donde u=u(x,t), c es una constante y los rangos son $-\infty < x < +\infty$, $t\geq 0$.

10.

Resolved el problema:

u_xx + 2 u_xy -3 u_yy=0

en $-\infty < x < +\infty$, $y \geq 0$, con las condiciones:

$$u(x,0)=sen(x) \;\;\; , \;\;\; u_y(x,0)=x.$$

11.

Determinad la solución de cada uno de los siguientes problemas donde u=u(x,t), $-\infty < x < +\infty$, $t\geq 0$:

a)

u_tt-c² u_xx=x, u(x,0)=0, u_t(x,0)=3.

b)

u_tt-c² u_xx=x+ct, u(x,0)=x, u_t(x,0)=sen(x).

c)

u_tt-c² u_xx=e^x, u(x,0)=5, u_t(x,0)=x².

d)

u_tt-c² u_xx=xe^t, u(x,0)=sen(x), u_t(x,0)=0.

12.

Hallad la solución de los siguientes problemas con condiciones iniciales y de contorno:

a)

Calculad u(x,t=L/c) donde u(x,t) satisface:

$$u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0$$

$$u(x,0)=Ax(L-x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L$$

$$u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L$$

$$u(0,t)=u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

donde A es una constante.

b)

Calculad u(x,t=L/c) donde u(x,t) satisface:

$$u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0$$

$$u(x,0)=Bx \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L/2$$

$$u(x,0)=B(L-x) \;\;\; , \;\;\; L/2 \leq x \leq L$$

$$u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L$$

$$u(0,t)=u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

donde B es una constante.

13.

Un gas se encuentra en reposo inicialmente y contenido dentro de una esfera de radio R. La condensación inicial está dada por s₀ dentro de la esfera y cero fuera. La condensación está relacionada con el potencial de velocidades mediante

$$s = u_t/c^2 \;\;\; , \;\;\; {\rm para}\;\; {\rm todo} \;\; t$$

y el potencial de velocidades satisface la ecuación

u_tt= u_xx + u_yy + u_zz.

Determinad la condensación s para todo t>0.

14.

Dado el problema:

$$u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0$$

$$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L$$

$$u_t(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L$$

$$u(0,t)=u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

a)

Hallad u(1/2,3/2) si L=c=1, f(x)=0, g(x)=x(1-x).

b)

Hallad u(3/4,2) si L=c=1, f(x)=x(1-x), g(x)=x²(1-x).

15.

Demostrad que la solución general del problema anterior verifica:

a)

es una función periódica impar en la variable x con período 2L;

b)

es una función periódica con período 2L/c en la variable t;

c)

u(L-x,t+L/c)=-u(x,t).

16.

Hallad la solución del problema:

$$u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0$$

$$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1$$

$$u_t(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1$$

$$u_x(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

17.

Obtened la solución del problema:

$$u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>x$$

$$u(x,x)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1$$

$$u_t(x,x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1$$

$$u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

18.

Hallad u(x,t) que satisface:

$$u_{tt}-u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi/2, t>0$$

$$u(x,0)=sen(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi/2$$

$$u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi/2$$

$$u(0,t)=u_x(\pi/2,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

19.

Resolved el problema:

$$u_{tt}-u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0$$

$$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi$$

$$u_t(x,0)=cos(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi$$

$$u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$

20.

Demostrad que si u satisface la ecuación de ondas unidimensional y u_x(0,t)=u_x(L,t) para todo $t\geq 0$, entonces se satisfacen las siguientes relaciones de recurrencia:

$$u(x,t+2L/c)=u(x,t)+\frac{2}{c} \int_0^L g(z) dz,$$

$$u(L-x,t+L/c)=u(x,t)+\frac{1}{c} \int_0^L g(z) dz.$$

21.

Hallad la solución de:

$$u_{tt}-u_{xx}=sen(\pi x) \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0$$

$$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1$$

$$u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1$$

$$u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0$$