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METODOS MATEMATICOS II (2do. PARCIAL)

Hoja II

1.
Resolved los siguientes problemas con condiciones iniciales y de contorno:
a)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x(1-x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
b)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=8 sen^2(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
c)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x(1-x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=9 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
2.
Resolved los siguientes problemas:
a)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x^3 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u_x(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
b)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=sen(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
3.
Resolved mediante el método de separación de variables:
\begin{displaymath}u_{tt}+a u_t+b u=c^2 u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde a, b y c son constantes.
 

4.
Hallad la solución del problema:
\begin{displaymath}u_{tt}+a u_t=c^2 u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde a y c son constantes.
 

5.
Resolved el problema de las vibraciones longitudinales de un cono truncado de longitud L y radio de la base a. La ecuación de movimiento está dada por:
\begin{displaymath}(1-x/H)^2 u_{tt} = c^2 \frac{\partial}{\partial x}[(1-x/H)^2\frac{\partial u}{\partial x}] \;\;\; , \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}

donde $c^2=E/\rho$, E es el módulo elástico, $\rho$ es la densidad del material y H=La/(a-r) donde r es el radio pequeño. Los dos extremos se mantienen fijos rígidamente. Hallad u(x,t) si el desplazamiento inicial es f(x).

6.
Estableced la validez de la solución formal del problema:
\begin{displaymath}u_{tt}-c^2 u_{xx}=0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(0,t)=u_x(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
7.
Probad la unicidad en el problema anterior.
8.
Determinad la solución de
\begin{displaymath}u_{tt}=c^2 u_{xx}+A\cdot sh(x) \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=h \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(L,t)=k \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde A, c, h y k son constantes, siendo $h\neq k$. Nota: sh(x) denota el seno hiperbólico de x.

9.
Resolved el problema:
\begin{displaymath}u_{tt}=c^2 u_{xx}+Ax \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde A y c son constantes.

10.
Resolved el problema:
\begin{displaymath}u_{tt}=c^2 u_{xx}+x^2 \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=0\;\;,\;\; u(1,t)=1 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
11.
Hallad la solución de
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx}+ h \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=u_0(1-cos(\pi x)) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=0\;\;,\;\; u(1,t)=2 u_0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde u0, h y k son constantes.

12.
Resolved los siguientes problemas:
a)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_t=4 u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x^2 (1-x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(1,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
b)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=sen^2(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
c)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_t= u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<2, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq 2\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u_x(2,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
d)
Hallad u(x,t) que satisface
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=sen(\pi x/L) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=a\;\;\; ,\;\;\; u(L,t)=b \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde a y b son constantes.

13.
La distribución de voltaje en una línea de transmisión está dada por
\begin{displaymath}v_t=k v_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<L, t>0.\end{displaymath}

El voltaje se mantiene a cero en x=L mientras que en el extremo x=0 varía de acuerdo con la ley v(L,t)= C t para t>0, donde C es uan constante. Encontrad v(x,t) si la distribución inicial de voltaje es cero.

14.
Estableced la validez de la solución formal del problema
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(L,t)=u_x(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
15.
Demostrad la unicidad en el problema
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(0,t)=u_x(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
16.
Resolved el problema de la desintegración radioactiva:
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} + A e^{-a x} \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=sen(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(\pi,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde A y a son constantes.

17.
Determinad la solución del problema:
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} - h u \;\;\;, \;\;\; -\pi<x<\pi, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; -\pi \leq x \leq \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(-\pi,t)=u(\pi,t) \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(-\pi,t)=u_x(\pi,t) \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

Usad la sustitución u(x,t)=e-ht v(x,t).

18.
Separad las variables en la ecuación t ut = uxx + 2 u con las condiciones de contorno $u(0,t)=u(\pi,t)=0$ para $t\geq 0$. Demostrad que hay un conjunto infinito de soluciones que satisfacen la condición inicial u(x,0)=0 y que por tanto no hay unicidad.
19.
Resolved el problema
\begin{displaymath}u_t=k u_{xx} \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(0,t)-a_0 u(0,t)=u_x(L,t)+a_L u(L,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}

donde a0 y aL son constantes que pueden tomar cualquier valor.

20.
Resolved el problema
\begin{displaymath}u_t + a^2 u_{xxxx} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<L, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq L\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u_x(0,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_{xx}(L,t)=u_{xxx}(L,t) \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
21.
Resolved el problema
\begin{displaymath}u_{tt}- u_{xx} = u \;\;\;, \;\;\; 0<x<1, t>0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq x \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(0,t)=u(1,t) \;\;\; , \;\;\; t\geq 0\end{displaymath}
 
22.
Resolved los problemas:
a)
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<B, 0<y<A\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=f(x)\;\;\; , \;\;\; u(0,y)=u(B,y)=u(x,A)=0\end{displaymath}
 
b)
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi , 0<y<\pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x^2 (\pi-x)\;\;\; , \;\;\; u(\pi,y)=u(x,\pi)=u(0,y)=0\end{displaymath}
 
c)
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, 0<y<1\end{displaymath}
 
u(x,0)=u(x,1)=sen3(x)
 
\begin{displaymath}u(0,y)=sen(\pi y) \;\;\; , \;\;\; u(\pi,y)=0\end{displaymath}
 
d)
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi , 0<y<\pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(x,0)=x^2\;\;\; , \;\;\; u(x,\pi)=0\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_x(0,y)=u_x(\pi,y)=0\end{displaymath}
 
e)
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x<\pi, 0<y<A\end{displaymath}
 
u(0,y)=u(x,A)=0
 
\begin{displaymath}u_x(\pi,y)=0\;\;\; , \;\;\; u_y(x,0)=f(x)\end{displaymath}
 
23.
Resolved el problema
\begin{displaymath}u_{xx}+ u_{yy} = 0 \;\;\;, \;\;\; 0<x+y<1, 0<x-y<1\end{displaymath}
 
u(x,-x)=u(x,1-x)=u(x,x-1)=0
 
u(x,x)=x (1-2 x)

Sugerencia: introducid nuevas coordenadas.

24.
Resolved la ecuación de Laplace en el interior del círculo unidad:
\begin{displaymath}u_{rr} + \frac{1}{r} u_r + \frac{1}{r^2} u_{\theta \theta} = 0\;\;\; , \;\;\; r<1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(1,\theta)=sen^3(\theta)\end{displaymath}
 
25.
Resolved
\begin{displaymath}u_{xx}+u_{yy}=0 \;\;\; , \;\;\; x^2+y^2 < 4\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u=x^4 \;\;\; {\rm para } \;\;\; x^2+y^2 = 4\end{displaymath}
 
26.
Si la función u satisface
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; x^2+y^2 < 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u=y log(5+4 x) \;\;\; {\rm para } \;\;\; x^2+y^2=1\end{displaymath}

calculad u en (x=1/2,y=0) por medio de la fórmula de Poisson.

27.
Resolved los siguientes problemas:
a)
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r<1, 0<\theta<\pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(r,0)=u(r,\pi)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq r \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(1,\theta)=\theta (\pi - \theta) \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq \pi\end{displaymath}
 
b)
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r<1, 0<\theta<\pi/2\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(r,0)=u_{\theta}(r,\pi/2)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq r \leq 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(1,\theta)=\theta \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq \pi/2\end{displaymath}
 
c)
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r<1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u_r(1,\theta)=sen^3(\theta)\end{displaymath}

con la normalización $u(0,\theta)=0$.

28.
Si la función u satisface
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; x^2+y^2 < 1\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u= x y e^{x^2+y^4} +2 \;\;\; {\rm para } \;\;\; x^2+y^2=1\end{displaymath}

calculad u en (x=0,y=0) mediante el teorema del valor medio.

29.
Resolved por medio del método de separación de variables
\begin{displaymath}\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; 1<r<R\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(1,\theta)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq \theta \leq 2 \pi\end{displaymath}
 
\begin{displaymath}u(R,\theta)=f(\theta) \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq 2 \pi\end{displaymath}

(la ecuación de Laplace en un anillo).


 
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Gustavo Yepes Alonso

1998-04-11