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METODOS MATEMATICOS II (2do. PARCIAL)

Hoja III

1.

Resolved el sistema de Sturm-Liouville con condiciones de contorno periódicas:

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; -\pi < x < \pi$$   $$f(\pi)=f(-\pi) \;\;\; , \;\;\; f^{\prime}(\pi)=f^{\prime}(-\pi)$$

2.

Resolved los siguientes sistemas de Sturm-Liouville regulares:

a)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$   $$f(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

b)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < \pi$$   $$f^{\prime}(0)=f^{\prime}(\pi)=0$$  

c)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$   $$f(0)+f^{\prime}(0)=f(1)=0$$  

d)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$   $$f(0)+f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

3.

Hallad todos los autovalores y autofunciones de los siguientes sistemas de Sturm-Liouville regulares:

a)

$$x^2 f^{\prime\prime}(x)+3xf^{\prime}(x)+\lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;1 < x < e$$   f(1)=f(e)=0  

b)

$$[ (2+x)^2 f^{\prime}(x)]^{\prime}+\lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;-1 < x < 1$$   f(-1)=f(1)=0  

c)

$$(1+x)^2 f^{\prime\prime}(x) +2(1+x) f^{\prime}(x)+3 \lambda f(x)=0\;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$   f(0)=f(1)=0  

4.

Hallad los autovalores y autofunciones de los siguientes sistemas de Sturm-Liouville regulares:

a)

$$f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime}(x)+(1+\lambda) f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;0 < x < 1$$   f(0)=f(1)=0  

b)

$$f^{\prime\prime}(x)+2 f^{\prime}(x)+(1+\lambda) f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;0 < x < 1$$   $$f(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

c)

$$f^{\prime\prime}(x)-3 f^{\prime}(x)+3(1+\lambda) f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;0 < x < \pi$$   $$f^{\prime}(0)=f^{\prime}(\pi)=0$$  

5.

Determinad todos los autovalores y autofunciones de los siguientes sistemas de Sturm-Liouville singulares:

a)

$$x^2 f^{\prime\prime}(x)+x f^{\prime}(x)+\lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;0 < x < 1$$

donde f(1)=0 y f está acotada cuando $x\rightarrow 0^+$.

b)

$$f^{\prime\prime}(x)+\lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\;0 < x < +\infty$$

donde f(0)=0 y f está acotada cuando $x\rightarrow +\infty$.

c)

$$[x f^{\prime}(x)]^{\prime}+(\lambda x-\frac{n^2}{x}) f(x)=0 \;\;\; ,\;\;\; 0 < x < 1$$

donde f(1)=0, f está acotada cuando $x\rightarrow 0^+$ y n está fijado ( n=0,1,2,3,...).

6.

Sea el sistema de Sturm-Liouville singular siguiente:

$$[(1-x^2) f^{\prime}(x)]^{\prime} +\lambda f(x) = 0 \;\;\; , \;\;\;-1<x<1$$

donde f está acotada cuando $x\rightarrow \pm 1$. Demostrad que sus autofunciones son los polinomios de Legendre (P_n(x)) y los autovalores correspondientes $\lambda_n = n(n+1)$.

7.

a)

Desarrollad la función g(x)=sen(x), $0\leq x \leq \pi$, en términos de las autofunciones del sistema de Sturm-Liouville

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x) = 0 \;\;\; , \;\;\;f(0)=f(\pi)+f^{\prime}(\pi)=0$$  

b)

Desarrollad la función g(x)=x, $0\leq x \leq \pi$, en términos de las autofunciones del sistema de Sturm-Liouville

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x) = 0 \;\;\; , \;\;\;f^{\prime}(0)=f^{\prime}(\pi)=0$$  

c)

Desarrollad la función g(x)=x(x-2), $0\leq x \leq 1$, en términos de las autofunciones del sistema de Sturm-Liouville

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x) = 0 \;\;\; , \;\;\;f(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

8.

En cada apartado del problema anterior, estudiad la convergencia de la serie obtenida en cada punto del intervalo considerado y, asimismo, si la serie converge uniformemente en todo el intervalo considerado.

9.

Resolved los siguientes problemas de contorno inhomogéneos:

a)

$$f^{\prime\prime}(x) + f(x) = 1 \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$   f(0)=f(1)=0  

b)

$$f^{\prime\prime}(x) + 4 f(x) = e^x \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$   $$f(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

c)

$$f^{\prime\prime}(x) = -log(x) \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$   $$f(0)=f(1)+2 f^{\prime}(1)=0$$  

10.

Hallad la función de Green para los siguientes problemas:

a)

$$f^{\prime\prime}(x) = g(x) \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$   $$f(0)=f^{\prime}(1)=0$$  

b)

$$f^{\prime\prime}(x) = g(x) \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$   $$f(0)=f(1)-f^{\prime}(1)=0$$  

11.

Hallad la función de Green para los siguientes problemas con condiciones de contorno:

a)

$$x f^{\prime\prime}(x) +f^{\prime}(x)= g(x) \;\;\; , \;\;\; 0<x<1$$

donde f(1)=0 y f está acotada cuando $x\rightarrow 0^+$.

b)

$$(1-x^2) f^{\prime\prime}(x) -2x f^{\prime}(x)= g(x) \;\;\; , \;\;\;-1<x<1$$

donde f está acotada cuando $x\rightarrow \pm 1$.

12.

Reexpresad los siguientes problemas en términos de ecuaciones integrales:

a)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$

donde f(0)=f(1)=0.

b)

$$f^{\prime\prime}(x) + \lambda f(x)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 < x < 1$$

donde $f(0)=f^{\prime}(1)=0$.

c)

$$[x f^{\prime}(x)]^{\prime}+(\lambda x-\frac{1}{x}) f(x)= 0 \;\;\; ,\;\;\; 0<x<1$$

donde f(0)=f(1)=0.

13.

Demostrad la existencia y unicidad para el problema de la ecuación de Laplace en un círculo con condición de frontera:

$$\Delta u(x,y) = 0 \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u=f(\theta) \;\;\; {\rm en} \;\;\; r=R \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq2\pi$$

donde $f(\theta)$ satisface las siguientes condiciones: f es continua en $[0,2\pi]$, $f(0)=f(2\pi)$ y $f^{\prime}$ es continua a trozos. (NOTA: úsese el principio del máximo y del mínimo como ayuda en la demostración).

14.

Verificad directamente que la fórmula de Poisson

$$u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{R^2-r^2}{R^2+r^2-2rRcos(\theta-\tau)} f(\tau) d\tau$$

es solución del problema anterior. Asimismo, demostrad a partir de ésta fórmula que el valor de u en el origen (centro del círculo) es igual al promedio de u sobre la circunferencia (el llamado teorema del valor medio).

15.

Resolved la ecuación de Laplace en el ```exterior'' del círculo de radio R

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r>R$$   $$u=f(\theta) \;\;\; {\rm en} \;\;\; r=R \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq2\pi$$

donde u está acotada cuando $r\rightarrow \infty$. Expresad la solución de la forma:

$$u(r,\theta) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{r^2-R^2}{R^2+r^2-2rRcos(\theta-\tau)} f(\tau) d\tau$$

Nótese que se diferencia de la fórmula de Poisson para el problema ``interior'' solamente en un cambio de signo.

16.

Resolved la ecuación de Laplace con condición de contorno en la derivada normal (problema de Neumann) en el interior del círculo de radio R:

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$\frac{\partial u}{\partial r}=f(\theta) \;\;\; {\rm en} \;\;\; r=R \;\;\;, \;\;\; 0\leq \theta \leq 2\pi$$

donde $f(\theta)$ satisface la condición

$$\int_0^{2\pi} f(\theta) d\theta = 0$$

Aplicad el método de separación de variables y expresad el resultado de la forma:

$$u(r,\theta) = C - \frac{R}{2\pi} \int_0^{2\pi} log[R^2+r^2-2rRcos(\theta-\tau)] f(\tau) d\tau$$

donde C es una constante indeterminada.

17.

Demostrad que la solución del problema de Neumann

$\Delta u = 0$ en la región D
$\frac{\partial u}{\partial n}=f$ en la frontera F de D
donde D es un dominio conexo y acotado, y $\frac{\partial u}{\partial n}$ es la derivada normal, difiere de otra solución como máximo en una constante. La función f satisface la condición de compatibilidad $$\int_F f dl = 0$$

(es decir, que la integral de línea de f a lo largo de la frontera F se anula).

18.

Resolved los siguientes problemas:

a)

$$\Delta u + u = 0 \;\;\; , \;\;\; 0<r<R, 0<\theta<\alpha$$   $$u(r,\theta=0)=u(r,\theta=\alpha)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq r \leq R$$   $$u(R,\theta)=f(\theta)$$

y $u(0,\theta)$ está acotada. La constante $\alpha$ toma un valor entre 0 y $2\pi$.

b)

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; 1<r<2, 0\leq \theta \leq 2\pi$$   $$u_r(1,\theta)=sen(\theta) \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq 2\pi$$   $$u_r(2,\theta)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq 2\pi$$  

c)

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r<R, 0< \theta < \pi$$   $$u_r(R,\theta)=\theta \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq \pi$$   $$u(r,0)=u(r,\pi)=0 \;\;\; , \;\;\; r\leq R$$  

19.

Hallad la solución del problema

$$\Delta u = -2 \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u(R,\theta)=0 \;\;\; , \;\;\; 0 \leq \theta \leq 2\pi$$

descomponiendo u=v+w de manera que w satisface la ecuación inhomogénea ( $\Delta w=-2$) y resolved la ecuación en w suponiendo que w es un polinomio.

20.

Emplead el mismo procedimiento que en el apartado anterior para resolved el siguiente problema:

$$\Delta u = -2y \;\;\; , \;\;\; 0<x<1, 0<y<1$$   u(0,y)=u(1,y)=u(x,0)=u(x,1)=0  

21.

Resolved el problema de Neumann en un rectángulo:

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<a, 0<y<b$$   $$u_x(0,y)=f_1(y) \;\;\; , \;\;\; u_x(a,y)=f_2(y)$$   $$u_y(x,0)=g_1(x) \;\;\; , \;\;\; u_y(x,b)=g_2(x)$$

donde se satisface la condición de compatibilidad

$$\int_0^a [g_1(x)-g_2(x)]dx + \int_0^b [f_1(y)-f_2(y)]dy = 0$$  

1998-05-21