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MÉTODOS MATEMÁTICOS (2nd. Parcial)

HOJA IV

1.

Hallad la función de Green en cada uno de los siguientes problemas y usadla para expresar la solución en términos de la función F dada en cada caso:

a)

Círculo de radio R:

$$\Delta u = F(r,\theta) \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u(R,\theta)=0$$  

b)

Círculo de radio R:

$$\Delta u + a^2 u = F(r,\theta) \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u(R,\theta)=0$$

donde a es una constante.

c)

Bola de radio R:

$$\Delta u = F(r,\theta,\phi) \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u(R,\theta,\phi)=0$$  

d)

Bola de radio R:

$$\Delta u -a^2 u = F(r,\theta,\phi) \;\;\; , \;\;\; r<R$$   $$u(R,\theta,\phi)=0$$

donde a es una constante.

e)

Paralelepípedo:

$$\Delta u = F(x,y,z) \;\;\; , \;\;\; 0<x<A, 0<y<B, 0<z<C$$   u(0,y,z)=u(A,y,z)=u(x,0,z)=u(x,B,z)=u(x,y,0)=u(x,y,C)=0  

2.

Resolved los siguientes problemas mediante la función de Green:

a)

$\Delta u = F(x,y) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, y>0$

$$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u \;\;\; {\rm acotada}$$  

b)

$\Delta u = F(x,y) \;\;\; , \;\;\; x>0, y>0$

$$u(0,y)=f(y) \;\;\; , \;\;\; u_y(x,0)=g(x)\;\;\; ,\;\;\; u\;\;\; {\rm acotada}$$  

c)

$\Delta u = F(x,y) \;\;\; , \;\;\; 0<x<A, 0<y<B$

u(0,y)=u(A,y)=u(x,0)=u(x,B)=0  

3.

Resolved el siguiente problema (en el exterior del círculo unidad) usando la función de Green:

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; r>1$$   $$u(1,\theta)=f(\theta) \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq 2\pi$$

y u una función acotada.

4.

Hállese la función de Green que satisface:

$$\Delta_{\vec{x}} G_D(\vec{x};\vec{\xi})+a^2 G_D(\vec{x};\vec{......\delta(\vec{x}-\vec{\xi}) \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x} \in D$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x} \in \delta D$$

donde el dominio D está dado por

$$D=\{r>0 \;\; , \;\; 0<\theta<\alpha\}$$

con $0<\alpha<2\pi$ y $\delta D$ es la frontera de dicho dominio D.

5.

Resuélvase el siguiente problema mediante el uso de la función de Green:

$$\Delta u = - F(r,\theta) \;\;\; , \;\;\; 0<r<R, 0<\theta<\pi$$   $$u(R,\theta)=u(r,0)=u(r,\pi)=0$$  

6.

Hallad la solución del siguiente problema de Dirichlet usando la función de Green:

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<a, 0<y<b$$   $$u(0,y)=u(a,y)=0 \;\;\; , \;\;\; 0\leq y \leq b$$   $$u(x,b)=0 \;\;\; , \;\;\; u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x \leq a$$  

7.

Hallad la función de Green para la región semi-infinita z>0 en el espacio tridimensional:

$$\Delta_{\vec{x}} G_D(\vec{x};\vec{\xi}) + a^2 G_D(\vec{x};\ve......{\xi}) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, -\infty<y<+\infty,z>0$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, -\infty<y<+\infty,z=0$$  

8.

Hállese la función de Green para el cuadrante x>0, y>0 en el espacio bidimensional:

$$\Delta_{\vec{x}} G_D(\vec{x};\vec{\xi}) =\delta(\vec{x}-\vec{\xi}) \;\;\; , \;\;\; x>0, y>0$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; x=0,y>0$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; x>0,y=0$$  

9.

Determinad la función de Green que satisface:

$$\Delta_{\vec{x}} G_D(\vec{x};\vec{\xi}) =\delta(\vec{x}-\vec{\xi}) \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x} \in D$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x} \in \delta D$$

y G_D acotada. La región D es la banda semi-infinita $D=\{ 0<x<a \;\; , \;\; y>0 \}$ y $\delta D$ es la frontera de D.

10.

Determinad la función de Green que satisface:

$$\Delta_{\vec{x}} G_D(\vec{x};\vec{\xi}) =\delta(\vec{x}-\vec{\xi}) \;\;\; , \;\;\; 0<r<1, 0<\theta<\pi/3$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; 0<r<1, \theta=0$$   $$G_D(\vec{x};\vec{\xi})=0 \;\;\; , \;\;\; 0<r<1, \theta=\pi/3$$   $$\frac{\partial G_D(\vec{x};\vec{\xi})}{\partial r}=0 \;\;\; , \;\;\; r=1,0<\theta<\pi/3$$

donde $r,\theta$ son las coordenadas polares de $\vec{x}$.

11.

Hallad la función de Green para la ecuación

$$\Delta u -\mu^2 u =0 \;\;\;\;\; (\mu=\;\;{\rm constante})$$

que se anula en todos los lados del rectángulo $0\leq x \leq a, 0\leq y \leq b$.

12.

Determinad la función de Green para la ecuación de Helmholtz

$$\Delta u + \mu^2 u = 0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<a, -\infty<y<+\infty$$

que se anula en los lados x=0 y x=a.

13.

Resolved el problema de Dirichlet para el exterior de una esfera:

$$\Delta u = 0 \;\;\; , \;\; r>1$$   $$u(1,\theta,\phi)=f(\theta,\phi) \;\;\; , \;\;\; 0\leq \theta \leq \pi,0\leq \phi \leq 2\pi$$

usando el método de la función de Green. $(r,\theta,\phi)$ son las coordenadas esféricas de $\vec{x}$.

14.

Hallad la solución singular $(G_D^{(s)}(\vec{x};\vec{\xi}))$ de la función de Green en 2 y 3 dimensiones para el operador $\Delta - \mu^2$ donde $\mu$ es una constante.

15.

Repetid el ejercicio anterior para el operador $\Delta + \mu^2$.

16.

Hallad la función de Green para la ecuación de Helmholtz

$$\Delta u + \mu^2 u = 0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<a, 0<y<b$$

que se anula en los lados del rectángulo $\{ 0\leq x \leq a \;\; , \;\;0\leq y \leq b \}$.

17.

Hallad la función de Green para el operador de Klein-Gordon estático

$$\Delta u -\mu^2 u = 0 \;\; , \;\; -\infty<x<+\infty, -\infty<y<+\infty, z>0$$

que se anula en el plano z=0.

18.

Demostrad que la función de Green (en 2 dimensiones) para el operador de Klein-Gordon estático $\Delta - \mu^2$ en la región $\{ 0\leq x \leq a \;\; , \;\; -\infty <y<+\infty \}$ está dada por:

$$G_D(x,y;\xi,\eta)=-\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^{-\lambda_n \v......rt}}{\lambda_n}sen(\frac{n \pi x}{a}) sen(\frac{n\pi \xi}{a})$$

donde $\lambda_n^2 \equiv \mu^2 + (n\pi/a)^2$ y se supone que $G_D(x,y;\xi,\eta)\to 0$ cuando $\vert y\vert\to +\infty$.

19.

Calculad el potencial ``electrostático'' en el espacio $I\!\!R^3$ debido a dos cargas puntuales +q situada en (0,0,a/2) y -q situada en (0,0,-a/2) cuando la ecuación clásica de Poisson $\Delta V(\vec{x})=-4\pi \rho(\vec{x})$ (donde $\rho(\vec{x})$ es la densidad de carga) se modifica de la siguiente manera:

$$\Delta V(\vec{x}) -\mu^2 V(\vec{x}) = -4\pi\rho(\vec{x})$$

donde $\mu$ es una constante.

1998-09-14