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METODOS MATEMATICOS II (2do. PARCIAL)

Hoja III

1.

Hallad la solución al siguiente problema de Neumann en el semiplano y>0:

$$u_{xx}+u_{yy} = 0 \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, y>0$$   $$u_y(x,0)=g(x) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty$$   $$u \;\;\; {\rm acotada} \;\;\; {\rm cuando} \;\;\; y\to +\infty$$   $$u,u_x \to 0 \;\;\; {\rm cuando} \;\;\; x \to \pm \infty$$  

2.

Determinad la solución del problema:

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u_t(x,0)=g(x)$$

Es decir, hallad la solución de D'Alembert usando la transformada Fourier.

3.

Resolved el siguiente problema:

$$u_{tt}+a^2 u_{xxxx}=0 \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u_t(x,0)=g(x)$$  

4.

Hallad la solución de los siguientes problemas:

a)

$$u_t = u_{xx} + t \cdot u \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u \;\; {\rm acotada}$$  

b)

$$u_t - u_{xx} + h \cdot u = \delta(x) \delta(t)\;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,t) \to 0 \;\; {\rm cuando} \;\; x\to\pm\infty$$   u(x,0)=0  

5.

Hallad la solución del problema

$$u_{xx}+u_{yy}=0 \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, 0<y<1$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty$$   $$u(x,1)=0 \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty$$

donde $u(x,y)\to 0$ uniformemente en y cuando $x\to \pm\infty$. Asimismo hallad la solución en el caso particular en que f(x)=e^-2|x|.

6.

Resolved el problema anterior mediante el método de separación de variables con un desarrollo en serie.

7.

Hallad la solución del siguiente problema:

$$u_t=u_{xx} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=e^{-x^2} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty$$

donde u es acotada.

8.

Resolved los siguientes problemas:

a)

$$u_t=u_{xx} \;\;\; , \;\;\; x>0, t>0$$   $$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; x>0$$   $$u(0,t)=g(t) \;\;\; , \;\;\; t>0$$

donde u es acotada. Asimismo, hallad la solución en el caso particular en que g(t)=t e^-t.

b)

$$u_t=u_{xx} \;\;\; , \;\;\; x>0, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u_x(0,t)-hu(0,t)=0$$

donde h es una constante positiva.

c)

$$u_{tt}+a^2 u_{xxxx}=0 \;\;\; , \;\;\; x>0, t>0$$   $$u(x,0)=u_t(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; x>0$$   $$u(0,t)=g(t) \;\;\; , \;\;\; u_{xx}(0,t)=0 \;\;\; , \;\;\; t>0$$  

d)

$$u_{xx}+u_{yy}=0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, 0<y<+\infty$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; 0\leq x < +\infty$$   $$u_x(0,y)=g(y) \;\;\; , \;\;\; 0\leq y < +\infty$$  

9.

Hallad la solución del problema:

$$u_t=u_{xx}+u_{yy} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, 0<y<L, t>0$$   u(x,y,0)=u(0,y,t)=u(x,0,t)=0   u(x,L,t)=1  

10.

Hallad la solución del siguiente problema:

$$u_t=u_{xx}-hu \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; u(0,t)=f(t)$$

donde h es una constante positiva.

11.

Resolved el siguiente problema:

$$u_{xx}+u_{yy}=0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, 0<y<1$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u(x,1)=u(0,y)=0$$

donde $u(x,y)\to 0$ uniformemente en y cuando $x\to +\infty$. Asimismo, obtened la solución en el caso particular f(x)=e^-x.

12.

Resolved el problema:

$$u_t-u_{xx}=F(x,t) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   u(x,0)=0

donde u es acotada.

13.

Demostrad que si u satisface

$$u_t=u_{xx} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty$$   $$u(x,t)\to 0 \;\; {\rm uniformemente} \;\; {\rm cuando} \;\;x\to \pm\infty$$

entonces se verifica que

$$\vert u(x,t)\vert\leq max\vert f(x)\vert$$

Sugerencia: aplicad el principio del máximo y del mínimo para la ecuación del calor a la banda $-L\leq x \leq L, t\geq 0$ y haced $L\to +\infty$.

14.

Resolved el problema:

$$u_{xx}+u_{yy}=e^{-x^2} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, 0<y<1$$   u(x,0)=u(x,1)=0

y $u(x,y)\to 0$ uniformemente en y cuando $x\to \pm\infty$.

15.

Hallad la solución del siguiente problema:

$$u_t=u_{xx}-u \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_x(0,t)=f(t)$$

y u acotada. Expresad la solución como una integral simple sobre f(t).

16.

Resolved el problema:

$$u_t-u_{xx}+tu=0 \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=e^{-x} \;\;\; , \;\;\; u_x(0,t)=0$$

donde $u(x,t)\to 0$ uniformemente en t cuando $x\to +\infty$.

17.

Resolved el problema del flujo de calor en 2 dimensiones:

$$u_t=u_{xx}+u_{yy} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, -\infty<y<+\infty, t>0$$   $$u(x,y,0)=f(x,y) \;\;\; , \;\;\; u(x,y,t) \;\; {\rm acotada}$$

Asimismo, hallad la solución en el caso particular en que f(x,y)=e^-x2-y2.

18.

Resolved los siguientes problemas en el espacio tridimensional:

a)

$$u_t - \Delta u = F(\vec{x},t) \;\;\; , \;\;\;\forall \vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=0 \;\;\; , \;\;\; u(\vec{x},t) \;\; {\rm acotada}$$  

b)

$$u_t-\Delta u +a u =0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=f(\vec{x}) \;\;\; , \;\;\; u(\vec{x},t) \;\; {\rm acotada}$$

Asimismo, obtened la solución en el caso particular en que $f(\vec{x})=e^{-\vec{x}^2}$.

19.

Resolved el problema del movimiento ondulatorio en 2 dimensiones:

$$u_{tt}-c^2 \Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x}\in I\!\!R^2, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_t(\vec{x},0)=f(\vec{x})$$  

20.

Demostrad que si $u(\vec{x},t)$ es la solución del problema

$$u_{tt}-c^2 \Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_t(\vec{x},0)=f(\vec{x})$$

entonces $v(\vec{x},t)\equiv u_t(\vec{x},t)$ satisface la ecuación de ondas y las condiciones iniciales $v(\vec{x},0)=f(\vec{x})$ y $v_t(\vec{x},0)=0$. Partiendo de este resultado hallad la solución del problema de valores iniciales:

$$u_{tt}-c^2 \Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=f(\vec{x}) \;\;\; , \;\;\; u_t(\vec{x},0)=g(\vec{x})$$  

21.

Resolved el problema no homogéneo siguiente en el espacio tridimensional:

$$u_{tt}-c^2 \Delta u = F(\vec{x},t)\;\;\; , \;\;\; \forall\vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_t(\vec{x},0)=0$$  

22.

Hallad $u(\vec{x},t)$ para el siguiente problema:

$$u_{tt}-\Delta u = 0 \;\;\; , \;\;\; \forall \vec{x}\in I\!\!R^3, t>0$$   $$u(\vec{x},0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_t(\vec{x},0)=x$$  

23.

Resolved el problema de la ecuación del calor en 1 dimensión

$$u_t=u_{xx} \;\;\; , \;\;\; -\infty<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u(x,t) \;\; {\rm acotada}$$

aplicando simultáneamente la transformada Fourier y la transformada Laplace. Nota:

$${\cal L}^{-1}[\frac{e^{-\sqrt{s}\vert x-y\vert}}{\sqrt{s}}] =\frac{1}{\sqrt{\pi t}} e^{-\frac{(x-y)^2}{4t}}$$  

24.

Resolved el siguiente problema mediante la transformada de Laplace:

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} - f_0 \delta(t-x/v)$$   u(x,0)=u_t(x,0)=u(0,t)=0

y u acotada cuando $x\to +\infty$. Considered el caso $v\neq c$ y el caso v=c.

25.

Hallad las soluciones de los siguientes problemas haciendo uso de la transformada Laplace:

a)

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f(x) \;\;\; , \;\;\; u_t(x,0)=u(0,t)=0$$

y $u\to 0$ cuando $x\to +\infty$.

b)

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<L, t>0$$   u(x,0)=u_t(x,0)=0   $$u(0,t)=0 \;\;\; , \;\;\; u_x(L,t)=cos(\omega t)$$  

c)

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   u(x,0)=u_t(x,0)=0   $$u(0,t)=sen(\omega t) \;\;\; {\rm y} \;\;\; u\to 0 \;\;\; {\rm cuando}\;\;\; x\to +\infty$$  

d)

$$u_{tt}=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<L, t>0$$   u(x,0)=u_t(x,0)=0   $$u(0,t)=0 \;\;\; , \;\;\; u(L,t)=f(t)$$  

e)

$$u_{tt}+au_t+bu=c^2 u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   u(x,0)=u_t(x,0)=0   $$u(0,t)=f_0 \cdot sen(\omega t) \;\;\; , \;\;\; t>0$$   $$u\to 0 \;\;\; {\rm cuando} \;\;\; x\to +\infty$$  

26.

Resolved los siguientes problemas haciendo uso de la transformada Laplace:

a)

$$u_t=k u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f_0 \;\;\; , \;\;\; u(0,t)=f_1$$

y $u\to f_0$ cuando $x\to +\infty$.

b)

$$u_t=k u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; u(0,t)=t^2$$

y $u\to 0$ cuando $x\to +\infty$.

c)

$$u_t=k u_{xx}-h u \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=f_0 \;\;\; , \;\;\; u(0,t)=0$$

y $u_x\to 0$ cuando $x\to +\infty$.

d)

$$u_t=k u_{xx} \;\;\; , \;\;\; 0<x<+\infty, t>0$$   $$u(x,0)=0 \;\;\; , \;\;\; u(0,t)=f_0$$

y $u\to 0$ cuando $x\to +\infty$.

27.

Resolved el problema del sonido en un rincón:

$$u_{tt}=u_{rr}+\frac{1}{r} u_r + \frac{1}{r^2} u_{\theta\theta}\;\;\; , \;\;\; r>0, 0<\theta<\pi/2, t>0$$   $$u_{\theta}(r,0,t)=u_{\theta}(r,\pi/2,t))=0 \;\;\; , \;\;\; r>0, t>0$$   $$u(r,\theta,0)=0 \;\;\; , \;\;\; u_t(r,\theta,0)=f(r,\theta)$$  

28.

Hallad la solución al siguiente problema expresándola como una integral finita deformando el contorno al calcular la transformada inversa de Laplace:

$$u_{tt}=u_{xx}+u_{yy} \;\;\; , \;\;\; 0<x<\pi, y>0, t>0$$   u(x,y,0)=u_t(x,y,0)=0   $$u(0,y,t)=u(\pi,y,t)=0$$   u_y(x,0,t)+2 u(x,0,t)=sen(x)

Nota: Aplíquese la transformada de Laplace en la variable tiempo y úsese un desarrollo en serie en la variable espacial x.

1998-09-14